根据《劳动合同法》第 96 条规定，事业单位与实行聘用制的工作人员订立、履行、变更、解除或者终止劳动合同，法律、行政法规或者国务院另有规定的，依照其规定；未作规定的，依照本法有关规定执行。可见，一般情况下，老姜这样的事业单位聘用人员是适用该法的。

在《劳动合同法》实施前，合同到期双方没有续签劳动合同的，劳动合同终止，单位可以不付经济补偿。所以老姜现在不能索要经济赔偿。

但《劳动合同法》实施后，因劳动合同期满导致劳动合同终止，单位终止劳动合同关系不再续签的，要给劳动者经济补偿。